【CFA】Ordinary AnnuityとAnnuity Due、Perpetuityの違いとは？

期間の問題

下記のような問題があったとします。

Calculate future value of ordinary annuity with $200 annual payments for 5 years at 8% interest.

ここで注意しなければいけないのは、計算する期間を間違えないようにすることです。

今回は似て非なるOrdinary AnnuityとAnnuity Dueの違いについて、紹介したいと思います。

Ordinary AnnuityとAnnuity Dueの違いは開始地点

まず言葉の定義として、

Ordinary Annuity:payments are required at the end of each period.
Ordinary Annuity:payments are required at the beginning of each period.

となり、支払い発生が開始直後から始まるか、1期間（1 period）終わった後から始まるかの違いがあります。

図解すると以下のようになります。

ordinary annuityの一般化

ここでordinary annuityの式を一般化すると、

${ FV }_{ N }=A\left[ { \left( 1+r \right) }^{ N-1 }+{ \left( 1+r \right) }^{ N-2 }+{ \left( 1+r \right) }^{ N-3 }+\cdots +{ \left( 1+r \right) }^{ 0 } \right]$

A:amout of cash flow each period

となり、もし各期間に支払われるA（配当、利子など）が一定の場合、初項A、公比（1+r）とした等比数列として表現できます。

${ FV }_{ N }=A{ \left( 1+r \right) }^{ n-1 }$

初項a、公比rの等比数列の和の公式は、

${ S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ n }-1 \right) }{ r-1 }$

であり、初項A,公比(1+r)を代入すると、

${ FV }_{ N }=A\left[ \frac { { \left( 1+r \right) }^{ N }-1 }{ r } \right]$

として表現することができます。

Solution

では最初に出た問題に戻ります。

Calculate future value of ordinary annuity with $200 annual payments for 5 years at 8% interest.

なので、1年後から預金を考えている人が、年利8%で、年間200ドルずつ5年間積み立てた場合、5年後いくらになっているかを想定します。

図解すると、下記のようになります。

1年目に預金した200ドル：200×(1.08)^4で運用
2年目に預金した200ドル：200×(1.08)^3で運用
3年目に預金した200ドル：200×(1.08)^2で運用
4年目に預金した200ドル：200×(1.08)^1で運用
5年目に預金した200ドル：200×(1.08)^0=200で運用

となるため、5年後の将来価値FV5は、

${ FV }_{ 5 }=200\times \left[ { \left( 1.08 \right) }^{ 4 }+{ \left( 1.08 \right) }^{ 3 }+{ \left( 1.08 \right) }^{ 2 }+{ \left( 1.08 \right) }^{ 1 }+1 \right]$