<The time value of money:The future value of Series of cash flows>

期間の問題

下記のような問題があったとします。

Calculate future value of ordinary annuity with $200 annual payments for 5 years at 8% interest.

ここで注意しなければいけないのは、計算する期間を間違えないようにすることです。

今回は似て非なるOrdinary AnnuityとAnnuity Dueの違いについて、紹介したいと思います。

Ordinary AnnuityとAnnuity Dueの違いは開始地点

まず言葉の定義として、

  • Ordinary Annuity:payments are required at the end of each period.
  • Ordinary Annuity:payments are required at the beginning of each period.

となり、支払い発生が開始直後から始まるか、1期間(1 period)終わった後から始まるかの違いがあります。

図解すると以下のようになります。

<Ordinary annuity>

Screenshot 2016-09-04 at 12.39.46

<Annuity Due>

Screenshot 2016-09-04 at 12.40.43

ordinary annuityの一般化

ここでordinary annuityの式を一般化すると、

{ FV }_{ N }=A\left[ { \left( 1+r \right)  }^{ N-1 }+{ \left( 1+r \right)  }^{ N-2 }+{ \left( 1+r \right)  }^{ N-3 }+\cdots +{ \left( 1+r \right)  }^{ 0 } \right] 

A:amout of cash flow each period

となり、もし各期間に支払われるA(配当、利子など)が一定の場合、初項A、公比(1+r)とした等比数列として表現できます。

{ FV }_{ N }=A{ \left( 1+r \right)  }^{ n-1 }

初項a、公比rの等比数列の和の公式は、

{ S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }\left( { r }^{ n }-1 \right)  }{ r-1 } 

であり、初項A,公比(1+r)を代入すると、

{ FV }_{ N }=A\left[ \frac { { \left( 1+r \right)  }^{ N }-1 }{ r }  \right]

として表現することができます。

Solution

では最初に出た問題に戻ります。

Calculate future value of ordinary annuity with $200 annual payments for 5 years at 8% interest.

なので、1年後から預金を考えている人が、年利8%で、年間200ドルずつ5年間積み立てた場合、5年後いくらになっているかを想定します。

図解すると、下記のようになります。

Screenshot 2016-09-04 at 13.51.15

  • 1年目に預金した200ドル:200×(1.08)^4で運用
  • 2年目に預金した200ドル:200×(1.08)^3で運用
  • 3年目に預金した200ドル:200×(1.08)^2で運用
  • 4年目に預金した200ドル:200×(1.08)^1で運用
  • 5年目に預金した200ドル:200×(1.08)^0=200で運用

となるため、5年後の将来価値FV5は、

{ FV }_{ 5 }=200\times \left[ { \left( 1.08 \right)  }^{ 4 }+{ \left( 1.08 \right)  }^{ 3 }+{ \left( 1.08 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 1.08 \right)  }^{ 1 }+1 \right] 

これは初項200、公比1.08のため、等比数列の和の公式より、

{ FV }_{ 5 }=\frac { 200\left( { 1.08 }^{ 5 }-1 \right)  }{ 0.08 } \\ { FV }_{ 5 }=1,173

なので、5年後の預金額は1,173ドルとなります。

 

今回はordinary annuity/anuuity dueについての違いでしたが、同じ期間の問題として、Perpetuityという言葉があります。

Perprtuityについては、また次回としたいと思います。

参考記事:イギリスコンソル債の計算にも使われるPerpetuityとは?

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【CFA】Ordinary AnnuityとAnnuity Due、Perpetuityの違いとは?

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